Distans soti nan yon pwen ak yon plan

Distans ki soti nan pwen A ak plan P se AH. Distans sa a mwens pase AM ak AM'

Nan espas eklidyen, distans ant yon pwen ak yon plan se distans ki pi kout ki separe pwen sa a ak yon pwen sou plan an. Teyorèm Pitagò a pèmèt nou deklare distans ki genyen ant pwen A ak plan an (P) koresponn ak distans ki separe A ak pwojeksyon òtogonal li H sou plan an (P).

Si yo bay espas la yon ankadreman referans ortonormal, yo ka defini pwen yo lè l sèvi avèk kowòdone yo yo rele kowòdone katezyen.

Swa nan espas:

• Pwen A ak kowòdone $(x_a,y_a,z_a)$
• Nenpòt pwen M nan plan P la
• Pwojeksyon ortogonal H nan A sou P, te note $H(x_h,y_h,z_h)$

• Plan P ekwasyon katezyen an: ax + by + cz + d = 0
• $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ yon vektè nòmal nan plan P la

Lè sa a, distans $\delta$ soti nan pwen A rive nan plan P ki endike ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}$ se:

${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{MA}|}{||\overrightarrow{n}||}$

pakonsekan, ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\frac{|a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Demonstrasyon

Premyèman, nou konnen vektè $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}$ ak $\overrightarrow{n}$ yo kolineyè, nou ka ekri:

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}=\lambda \cdot \overrightarrow{n}$

ki se,

$\left(\begin{array}{c}{x}_h-x_a\\ y_h-y_a\\ z_h-z_a\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ Dezyèmman, $\mathrm{H}\in \mathrm{P}$ Se poutèt sa:

$a{x}_h+b{y}_h+c{z}_h+d=0$ Sa vle di rezoud sistèm sa a:

$\{\begin{array}{c}{x}_h=\lambda a+x_a\\ y_h=\lambda b+y_a\\ z_h=\lambda c+z_a\\ a{x}_h+b{y}_h+c{z}_h+d=0\end{array}$

Ranplase kowòdone H yo nan 4yèm ekwasyon pa valè yo jwenn nan premye 3 yo pèmèt nou ekri:

$a(\lambda a+x_{\mathrm{a}})+b(\lambda b+y_{\mathrm{a}})+c(\lambda c+z_{\mathrm{a}})+d=0$.

oswa:

$a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d+\lambda (a^2+b^2+c^2)=0$.

P se yon plan, a, b, c pa tout zewo: nou genyen

$\lambda =-\frac{a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d}{a^2+b^2+c^2}$

Finalman, distans ki soti nan A rive nan P se pa lòt ke longè vektè $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}$, kidonk:

${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\Vert \overrightarrow{AH}\Vert =\left|\lambda \right|\Vert \overrightarrow{n}\Vert$

kite ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\left|\frac{-(a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d)}{a^2+b^2+c^2}\right|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

epi finalman ${\delta }_{\mathrm{A},P}=\frac{|a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Sa a konplete prèv la.