Gade kòd pou Distans soti nan yon pwen ak yon plan

{{Gade omonim|Distans}}
[[Fichye:DistancePlan.svg|vignette|Distans ki soti nan pwen A ak plan P se AH. Distans sa a mwens pase AM ak AM']]
Nan [[espas eklidyen]], '''distans ant yon pwen ak yon plan''' se distans ki pi kout ki separe pwen sa a ak yon pwen sou plan an. [[Teyorèm Pitagò a]] pèmèt nou deklare distans ki genyen ant pwen A ak plan an (P) koresponn ak distans ki separe A ak [[Pwojeksyon òtogonal|pwojeksyon òtogonal li]] H sou plan an (P).

Si yo bay espas la yon [[Baz ortonormal|ankadreman referans ortonormal]], yo ka defini pwen yo lè l sèvi avèk [[Kowòdone katezyen|kowòdone yo]] yo rele kowòdone katezyen.

Swa nan espas:

* Pwen A ak kowòdone <math>(x_a,y_a,z_a) </math>
* Nenpòt pwen M nan plan P la
* Pwojeksyon ortogonal H nan A sou P, te note <math>

H(x_h,y_h,z_h) </math>

* Plan P ekwasyon katezyen an: ''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''d'' = 0
* <math>\vec n \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}</math> yon [[Nòmal (jewometri)|vektè nòmal]] nan plan P la

Lè sa a, distans <math>\delta</math> soti nan pwen A rive nan plan P ki endike <math>\delta_{\mathrm{A}, \mathrm{P}}</math> se:

<math>\delta_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} =\frac{\left| \vec{n} \cdot \vec{MA}\right|}{||\vec{n}||}</math>

pakonsekan, <math>\delta_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} =\frac{\left| ax_a + by_a + cz_a + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}</math>

; Demonstrasyon

Premyèman, nou konnen vektè <math>\overrightarrow{\mathrm{AH}}</math> ak <math>\vec n</math> yo kolineyè, nou ka ekri:

: <math>\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\lambda \cdot \vec n</math>

ki se,

: <math>

\begin{pmatrix} x_h-x_a \\ y_h-y_a \\ z_h-z_a \\ \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix} </math> Dezyèmman, <math>\mathrm{H} \in \mathrm{P}</math> Se poutèt sa:

: <math>

ax_h+by_h+cz_h+d=0 </math> Sa vle di rezoud sistèm sa a:

<math>\left \{ \begin{matrix}
x_h = \lambda a+x_a \\
y_h = \lambda b+y_a \\
z_h = \lambda c+z_a \\
ax_h + by_h + cz_h + d = 0 
\end{matrix} \right .</math>

Ranplase kowòdone H yo nan 4yèm ekwasyon pa valè yo jwenn nan premye 3 yo pèmèt nou ekri:

: <math>a(\lambda a + x_\mathrm{a}) + b(\lambda b + y_\mathrm{a}) + c(\lambda c+z_\mathrm{a}) + d = 0</math>.

oswa:

: <math>ax_a + by_a + cz_a + d + \lambda(a^2+b^2+c^2)=0</math>.

P se yon plan, a, b, c pa tout zewo: nou genyen

: <math>\lambda = - \frac {ax_a+by_a+cz_a+d}{a^2+b^2+c^2}</math>

Finalman, distans ki soti nan A rive nan P se pa lòt ke longè vektè <math>\overrightarrow{\mathrm{AH}}</math>, kidonk:

: <math>\delta_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \lVert \vec {AH}\rVert= \left| \lambda \right| \lVert \vec n \rVert </math>
: kite <math> \delta_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \left| \frac {-(ax_a + by_a + cz_a + d)}{a^2+b^2+c^2} \right| \sqrt{a^2+b^2+c^2} </math>
: epi finalman <math> \delta_{\mathrm{A},P} =\frac{\left| ax_a + by_a + cz_a + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}</math>

Sa a konplete prèv la.
[[Kategori:Distans ak longè|Pwen pou avyon]]
[[Kategori:Jewometri]]
[[Kategori:Pou reli]]