Gradyan

Chak jaden eskalè reprezante pa yon gradyan (blan = valè ki ba, nwa = valè segondè). Chak gradyan se yon jaden vektè, reprezante pa flèch ble; chak pwen nan direksyon kote jaden eskalè a ap grandi pi rapid.

Fonksyon de varyab Modèl:Math koresponn ak tanperati a (ble = valè ki ba = frèt, wouj = gwo valè = cho). Grayan Modèl:Mvar se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote tanperati a ogmante pi rapid la.

Nan matematik ak fizik, gradyan yon fonksyon se pousantaj varyasyon li selon pozisyon (nan sans laj). Pa egzanp, nan meteyoloji, gradyan tanperati a se pousantaj varyasyon tanperati a ak altitid ; li mezire an °C/hm (Modèl:Cad degre Sèlsiyis pou chak san mèt).

Pou yon fonksyon $f:U\subset ℝ\to ℝ$, gradyan Modèl:Mvar fizyone ak derive Modèl:Mvar. Pou yon fonksyon $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$, kote Modèl:Mvar se yon nonb antye relatif Modèl:Math, gradyan nan Modèl:Mvar nan yon pwen se yon vektè ki gen direksyon ki pi fò varyasyon Modèl:Mvar nan katye pwen sa a. Nosyon sa a lye ak diferansyèl pou fonksyon ki gen valè reyèl: si Modèl:Mvar diferansyab nan Modèl:Mvar, diferans Modèl:Math se yon fòm lineyè; ak fòm lineyè sa a, si ansanm kòmanse Modèl:Mvar nan dimansyon fini, nou ka asosye yon vektè ki se gradyan Modèl:Mvar nan Modèl:Mvar.

Pa egzanp, si yon fonksyon $f:{ℝ}^3\to ℝ$ diferansyab nan pwen Modèl:Mvar, lè sa a gradyan li se vektè a, ki endike lè l sèvi avèk operatè nabla:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f(a)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}(a)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(a)\\ \frac{\partial f}{\partial z}(a)\end{array}\right),$

kote $\frac{\partial f}{\partial x}(a),\frac{\partial f}{\partial y}(a),\frac{\partial f}{\partial z}(a).))$ se derive pasyèl Modèl:Mvar nan pwen Modèl:Mvar parapò ak varyab Modèl:Math respektivman. Varyasyon Modèl:Mvar nan katye Modèl:Mvar pou yon ti varyasyon $h=(x_h,y_h,z_h)$ se:

$f(a+h)-f(a)\approx \frac{\partial f}{\partial x}(a)x_h+\frac{\partial f}{\partial y}(a)y_h+\frac{\partial f}{\partial z}(a)z_h.$

Nan chak pwen kote Modèl:Mvar diferan, nou ka defini yon vektè; fanmi vektè sa yo fòme yon chan vektoryèl. Yo rele jaden sa a gradyan fonksyon Modèl:Mvar epi li note $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f.$ Se yon fonksyon ki defini sou seri $U\subset E$ nan pwen Modèl:Mvar kote Modèl:Mvar se diferans, ak valè nan Modèl:Mvar.

Gradyan an fè li posib pou apwoksimatif fonksyon plizyè varyab lè l sèvi avèk fòm lineyè. Li itil nan fizik, men tou nan jewometri pou detèmine nòmal yo nan liy nivo oswa nan izosifas yo.

Definisyon

Jaden eskalè Modèl:Math reprezante pa nap zoranj la. Grayan Modèl:Mvar se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote Modèl:Mvar ap grandi pi rapid.

Nan yon sistèm kowòdone katezyen, gradyan yon fonksyon Modèl:Mvar diferansyab nan pwen $a=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ se vektè yo note. $\mathrm{\nabla }f(a)$ konpozan $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ (kote Modèl:Math), Modèl:Cad derive pasyèl nan Modèl:Mvar ki gen rapò ak kowòdone yoModèl:,, nan pwen Modèl:Mvar:

$$\mathrm{\nabla }f(a)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{array}\right].$$

Nan yon repè òtonome, si vektè gradyan an pa zewo, lè sa a li lonje dwèt nan direksyon kote fonksyon an grandi pi rapid, epi nòm li se egal a to kwasans lan nan direksyon sa a.

Konpozan gradyan Modèl:Mvar se koyefisyan varyab yo nan ekwasyon redwi espas tanjant nan pwen Modèl:Mvar nan graf Modèl:Mvar. Pwopriyete sa a pèmèt yo defini l poukont chwa sistèm kowòdone, kòm yon jaden vektè ki gen eleman transfòme lè yo pase soti nan yon sistèm kowòdone nan yon lòt.

Jeneralizasyon gradyan an nan fonksyon diferansye plizyè varyab ak nan valè vektè (ak aplikasyon diferans ant espas Euclidean) se Matris Jakobyèn. Jeneralizasyon nan fonksyon ant Espas Banach se Derive Fréchet.

Relasyon vektoryèl

Nan analiz vektoryèl, gradyan an ka konbine avèk lòt operatè yo: divèjans (div), wotasyonèl, laplasyen ( Δ). Se pou Modèl:Fòmil yon fonksyon ki dekri yon chan eskalè, ke nou sipoze nan klas Modèl:MathModèl:2 parapò ak chak paramèt; KONSA:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\frac{\partial f}{\partial t};$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\mathrm{\Delta }f;$

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\overrightarrow{0}.$

Gade tou

Bibliyografi

• Modèl:En Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
• Modèl:En Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2e éd. révisée Modèl:ISBN