Gade kòd pou Gradyan

{{eboch|matematik}}
[[File:Gradient2.svg|thumbnail|Chak jaden eskalè reprezante pa yon gradyan (blan = valè ki ba, nwa = valè segondè). Chak gradyan se yon jaden vektè, reprezante pa flèch ble; chak pwen nan direksyon kote jaden eskalè a ap grandi pi rapid.]]

[[File:Gradient of a Function.tif|thumbnail|Fonksyon de varyab {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x'' e<sup>−(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)</sup>}} koresponn ak tanperati a (ble = valè ki ba = frèt, wouj = gwo valè = cho). Grayan {{mvar|f}} se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote tanperati a ogmante pi rapid la.]]

Nan [[matematik]] ak [[fizik]], '''gradyan''' yon [[Fonksyon (matematik)|fonksyon]] se pousantaj varyasyon li selon pozisyon (nan sans laj). Pa egzanp, nan [[meteyoloji]], gradyan tanperati a se pousantaj varyasyon tanperati a ak altitid<ref>{{web link |title=Gradient |url=https://www.larousse.fr/ dictionaries/french/ gradient/37743 |site=larousse.fr}}</ref> ; li mezire an °C/hm ({{cad}} degre Sèlsiyis pou chak san mèt).

Pou yon fonksyon <math>f: U \subset \R \to \R</math>, gradyan {{mvar|f}} fizyone ak [[derive]] {{mvar|f}}. Pou yon fonksyon  <math>f : U \subset \R^n \to \R</math>, kote {{mvar|n}} se yon nonb antye relatif {{math|≥ 2}}, '''gradyan''' nan {{mvar|f}} '''nan yon pwen''' se yon [[vektè]] ki gen direksyon ki pi fò varyasyon {{mvar|f}} nan [[Kwazin lan (matematik) |katye]] pwen sa a<ref>{{Lien web |langue=fr |title=Gradient |url=https://www.cnil.fr/fr/definition/gradient |site=www.cnil. fr |konsilte on=2023-08-03}}</ref>. Nosyon sa a lye ak [[diferansyèl]] pou fonksyon ki gen valè reyèl: si {{mvar|f}} diferansyab nan {{mvar|a}}, diferans {{math|D''f'' ( ''a'')}} se yon [[fòm lineyè]]; ak fòm lineyè sa a, si ansanm kòmanse {{mvar|E}} nan dimansyon fini, nou ka asosye yon vektè ki se gradyan {{mvar|f}} nan {{mvar|a}}.

Pa egzanp, si yon fonksyon <math>f : \R^3 \to \R</math> diferansyab nan pwen {{mvar|a}}, lè sa a gradyan li se vektè a, ki endike lè l sèvi avèk operatè [[nabla]]:
: <math>\overrightarrow{\nabla} f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(a) \\ \frac{\partial f}{\partial y}( a) \\ \frac{\partial f}{\partial z}(a)\end{pmatrix},</math>
kote <math>\frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a), \frac{\partial f}{\partial z}(a). ) )</math> se [[Derive pasyèl|derive pasyèl]] {{mvar|f}} nan pwen {{mvar|a}} parapò ak varyab {{math|''x'', ''y'', ''z''}} respektivman. Varyasyon {{mvar|f}} nan katye {{mvar|a}} pou yon ti varyasyon <math>h = (x_h,y_h,z_h)</math> se:
: <math>f(a+h)-f(a) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(a) \ x_h + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \ y_h + \frac{\partial f}{\partial z}(a) \ z_h.</math>

Nan chak pwen kote {{mvar|f}} diferan, nou ka defini yon vektè; fanmi vektè sa yo fòme yon [[chan vektoryèl]]. Yo rele jaden sa a gradyan fonksyon {{mvar|f}} epi li note <math>\overrightarrow{\nabla} f.</math> Se yon fonksyon ki defini sou seri <math>U \subset E</Math> nan pwen {{mvar|E}} kote {{mvar|f}} se diferans, ak valè nan {{mvar|E}}.

Gradyan an fè li posib pou apwoksimatif fonksyon plizyè varyab lè l sèvi avèk fòm lineyè. Li itil nan fizik, men tou nan [[jewometri]] pou detèmine nòmal yo nan [[Liy Nivo|liy nivo]] oswa nan [[izosifas]] yo.

== Definisyon ==
[[File:3d-gradient-cos.svg|thumbnail|Jaden eskalè {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup> 2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} reprezante pa nap zoranj la. Grayan {{mvar|f}} se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote {{mvar|f}} ap grandi pi rapid.]]

Nan yon sistèm [[kowòdone katezyen]], gradyan yon fonksyon {{mvar|f}} diferansyab nan pwen <math>a = (x_1,x_2,\dots,x_n)</math> se vektè yo note. <math>\nabla f(a)</math> konpozan <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} (a) ~</math> (kote {{math|''i'' {{=}} 1, 2, ..., ''n''}})<ref>{{Lyen web |language=fr |prenon=Nathalie |ti non=Mayer |tit=Definisyon {{!}} Gradient {{!}} Futura Sciences |url=https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-gradient-15141/ |site=Futura |accessed on=2023-08-03}}</ref>, {{cad}} [[Derive pasyèl|derive pasyèl]] nan {{mvar|f}} ki gen rapò ak kowòdone yo<ref name="Gradient">{{Lyen entènèt |title=Gradient |url =https: //www.bibmath.net/dico/index.php?action=annonce&quoi=./g/gradient.html |site=www.bibmath.net |konsilte sou=2023-08-03}}</ref>{{ ,}}<ref>{{Lyen entènèt |language=en |title=Gradyan {{!}} Definisyon ak reyalite {{!}} Britannica |url=https://www.britannica.com/science/ gradyan-matematics |sit=www.britannica.com |dat=2023-06-23 |accessed on=2023-08-03}}</ref>, nan pwen {{mvar|a}}:

<math display="block">\nabla f(a) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} (a) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} (a) \end{bmatrix}.</math>

Nan yon [[baz òtonome|repè òtonome]], si vektè gradyan an pa zewo, lè sa a li lonje dwèt nan direksyon kote fonksyon an grandi pi rapid, epi [[Nòm (matematik)#Nan dimansyon fini|nòm ]] li se egal a to kwasans lan nan direksyon sa a.

Konpozan gradyan {{mvar|f}} se koyefisyan varyab yo nan ekwasyon redwi espas tanjant nan pwen {{mvar|a}} nan graf {{mvar|f}}. Pwopriyete sa a pèmèt yo defini l poukont chwa [[sistèm kowòdone]], kòm yon jaden vektè ki gen eleman transfòme lè yo pase soti nan yon sistèm kowòdone nan yon lòt.

Jeneralizasyon gradyan an nan fonksyon diferansye plizyè varyab ak nan valè vektè (ak aplikasyon diferans ant espas Euclidean) se [[Matris Jakobyèn]]. Jeneralizasyon nan fonksyon ant [[Espas Banach|Espas Banach]] se [[Derive fonksyonèl|Derive Fréchet]].

== Relasyon vektoryèl ==
Nan [[analiz vektoryèl]], gradyan an ka konbine avèk lòt operatè yo: [[Divèjans (analiz vektoryèl)|divèjans]] (div), [[wotasyonèl]], [[Operatè laplasyen|laplasyen]] ( Δ). Se pou {{fòmil|''f''}} yon fonksyon ki dekri yon chan eskalè, ke nou sipoze nan klas {{math|C}}{{2}} parapò ak chak paramèt; KONSA:
: <math>\frac{\partial}{\partial t} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \frac{\partial f}{\partial t} \ ;</math>
: <math>\mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f \ ;</math>
: <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{0}.</math>

== Nòt ak referans ==
=== Nòt ===
{{références| groupe=alpha}}
=== Referans ===
{{références}}

== Gade tou ==
{{Lòt pwojè| wikt=gradient}}

=== Bibliyografi ===
* {{en}} [[Serge Lang]], ''Fundamentals of Differential Geometry'', Springer
* {{en}} Barrett O'Neill, ''Elementary Differential Geometry'', 2e éd. révisée {{ISBN|9780120887354}}


[[Kategori:Analiz vektoryèl]]
[[Kategori:Derive]]